关于秩的一个结论

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$Rank(A)=Rank(A^TA)=Rank(AA^T)$

证明:

一方面: $Ax=0\Rightarrow A^TAx=0$

另一方面: $A^TAx=0\Rightarrow x\cdot0=x\cdot A^TAx=0$

$x\cdot A^TAx=0\Rightarrow x^TA^TAx=0$

$x^TA^TAx=0\Rightarrow (Ax)^TAx=0 \Rightarrow ||Ax||^2=0\Rightarrow Ax=0$

所以$A$与$A^TA$核空间相同，所以秩相等