LU分解的例子
将一个简单的$3×3$矩阵A进行LU分解： $$ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 7 \\ 3 & 5 & 3 \\ \end{bmatrix} $$
先将矩阵第一列元素中$a_{11}$以下的所有元素变为0，即 $$ L_{1}A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 7 \\ 3 & 5 & 3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -6 \\ \end{bmatrix} $$ 再将矩阵第二列元素中$a_{22}$以下的所有元素变为0，即 $$ L_{2}(L_{1}A)= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -6 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -5 \\ \end{bmatrix} =U $$ 然后我们将 $L_1, L_2$ 移到等号的右边, 就得到了所有步骤的总和$L$:
$$L= L_{1}^{-1}L_{2}^{-1}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix} $$
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