MIT_18.065-Part_3-A_Different_Perspectvie_of_Matrix_Multiplication-An_Example
# Math/LinearAlgebra #Matrix #Math
$$S=Q \Lambda Q^{\mathrm{T}}$$
其中S是一个对称矩阵, $S=S^{\mathrm{T}}$
Q的行向量是S的特征向量, 这些特征向量相互正交 $$Q=\left[\begin{array}{ccc} \mid & & \mid \\ q_{1} & \ldots & q_{n} \\ \mid & & \mid \end{array}\right]$$
$\Lambda$是对角矩阵, 由S的特征值组成
$S=(Q \Lambda) (Q^{T})$ , 所以这个矩阵由$Q\Lambda$的列向量组成:
$$Q\Lambda=\left[\begin{array}{ccc}\mid & & \mid \\ q_{1} & \ldots & q_{n} \\ \mid & & \mid\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} \lambda_1 & & \& \ddots & \\ & & \lambda_n \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\mid & & \mid \\ \lambda_1q_{1} & \ldots & \lambda_nq_{n} \\ \mid & & \mid\end{array}\right]$$
$$S=(Q \Lambda) Q^{\mathrm{T}}= \lambda_{1} \boldsymbol{q}{1}\boldsymbol{q}{1}^{\mathrm{T}}+ \lambda_{2} \boldsymbol{q}{2}\boldsymbol{q}{2}^{\mathrm{T}}+ \cdots+ \lambda_{n} \boldsymbol{q}{n} \boldsymbol{q}{n}^{\mathrm{T}}$$
这样, S就被拆分成了秩为一的小矩阵的加和, 其中每一个小矩阵$\lambda_{i} \boldsymbol{q}{i}\boldsymbol{q}{i}^{\mathrm{T}}$也是对称矩阵, 因为这个小矩阵是特征向量$\boldsymbol{q}{i}$自己与自己的外积$\boldsymbol{q}{i}\boldsymbol{q}_{i}^{\mathrm{T}}$的$\lambda_i$倍
验证: 如果我们计算$Sq_1$:
- 因为q相互正交, 所以: $\boldsymbol{q}{2}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{q}{1}=0$
- 所以: $$\lambda_{2} \boldsymbol{q}{2}\boldsymbol{q}{2}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{q}_{1}=0$$
又因为q是单位向量, 所以: $\boldsymbol{q}{1}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{q}{1}=1$ $$S\boldsymbol{q}{1}= \lambda{1}\boldsymbol{q}{1}\boldsymbol{q}{1}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{q}{1}=\lambda{1}\boldsymbol{q}_{1}$$ 符合特征向量的定义.