Covariance-协方差
# Covariance
2021-12-11
Tags: #Math/Statistics
期望值分别为 $E(X)=\mu$ 与 $E(Y)=\nu$ 的两个随机变量 X 与 Y 之间的协方差定义为: $$\begin{aligned} \operatorname{cov}(X,Y)&=\mathrm{E}((X-\mu)(Y-\nu))\\ &=\mathrm{E}(X \cdot Y-\nu X-\mu Y +\mu\nu)\\ &=\mathrm{E}(X \cdot Y)-\nu \mathrm{E}(X)-\mu \mathrm{E}(Y) +\mu\nu\\ &=\mathrm{E}(X \cdot Y)-\mu\nu-\mu\nu +\mu\nu\\ &=\mathrm{E}(X \cdot Y)-\mu \nu \end{aligned}$$
或者也可以表示为: $$\operatorname{cov}(X,Y)=\mathrm{E}(X \cdot Y)-\mathrm{E}(X)\mathrm{E}(Y)$$
- 如果$X,Y$是相互独立的, 那么它们之间的协方差为$0$ : $$\begin{aligned} \operatorname{cov}(X,Y)&=\mathrm{E}(X \cdot Y)-\mu \nu\\ &=\mathrm{E}(X)\mathrm{E}(Y)-\mu \nu\\ &=\mu \nu-\mu \nu\\ &=0 \end{aligned}$$